logika matematika

KATA  PENGANTAR

            Puji dan Syukur marilah kita panjatkan Kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya kepada kita semua. Sehingga kita dapat berupaya dan berusaha dalam menjalani hidup ini.

            Dengan tersusunnya makalah yang berisi tentang logika matematika, dengan pembahasan materi yaitu, pernyataan dan nilai kebenaran, pernyataan berkuantor, pernyataan majemuk : nilai kebenaran dan negasinya, merupakan suatu bahan kajian bagi kalangan pelajar. Melatih berpikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide atau gagasan adalah tujuan umum pembelajaran matematika di kampus. Konsep Logika Matematika adalah salah satu kompetensi yang mencerminkannya. Modul pembelajaran ini dirancang untuk mengarahkan bagaimana mahasiswa/i belajar menguasai kompetensi Menerapkan Konsep Logika Matematika secara mandiri, tanpa mengesampingkan kerjasama dalam bekerja kelompok. Keberhasilan pembelajaran ditandai dengan adanya perubahan perilaku positif pada diri mahasiswa sesuai dengan standar kompetensi dan tujuan pendidikan. Informasi tentang Konsep Logika Matematika disajikan secara garis besar tetapi konseptual. Strategi penyajian modul dirancang agar belajar siswa tidak terfokus hanya mempelajari satu sumber saja, tapi mahasiswa didorong untuk melakukan eksplorasi terhadap sumber-sumber belajar lain yang relevan. Melalui pendekatan ini, diharapkan kompetensi dasar dan kompetensi kunci seperti  kemampuan komunikasi, kerjasama dalam  tim, penguasaan teknologi informasi, pemecahan masalah dan pengambilan keputusan dapat terbentuk pada diri mahasiswa/i.

            Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat mengharapkan kritik dan sarannya yang bersifat membangun, agar penulis dapat menyusun makalah lebih baik lagi.

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Pembahasan mengenai logika sudah ada sejak lama, bahkan sejak sebelum manusia mengenal istilah logika itu sendiri. Upaya-upaya telah dilakukan untuk membuat suatu metode penalaran (logika) yang mangkus dan sangkil. Setelah melalui proses yang panjang, lahirlah metode logika yang dipakai hingga saat ini. Salah satunya adalah logika simbolis atau logika matematika. Anehnya, metode tersebut, secara fundamental, tidak berbeda dengan konsep yang diperkenalkan oleh Aristoteles sekitar dua ribu tahun yang lalu. Tujuan dari makalah ini sendiri, selain memenuhi kewajiban membuat tugas, adalah untuk memnuhi rasa ingin tahu dan ketertarikan Penulis terhadap bab logika, serta mencoba menuangkan informasi yang didapat ke dalam sebuah tulisan. Metode pembahasan yang Penulis pakai banyak menggunakan contoh-contoh agar lebih terlihat nyata dan lebih mudah dipahami. Sumber data dari makalah ini sendiri adalah pengetahuan yang penulis dapat dari kuliah dan ditambah membaca artikel-artikel dari internet.

B.     Tujuan

Makalah ini disusun dengan maksud untuk memberikan pengetahuan tentang  pengertian dan pengetahuan tentang Logika Matematika dengan harapan mahasiswa/i dapat digunakan sebagai salah satu sumber untuk memecahkan masalah-masalah pada Logika Matematika

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ....................................................................................................	1
Daftar Isi ..............................................................................................................	2
BAB I.  PENDAHULUAN..................................................................................... A.    Latar Belakang ........................................................................................... B.     Maksud Dan Tujuan....................................................................................	3
BAB II. ISI................................................................................................... A.     Peryataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya ...................................... B.     Ingkaran Dari Pernyataan Berkuantor..................................................... C.     Ingkaran Atau Negasi ........................................................................ D.    Pengertian Logika dan Pernyataan ..................................................... a)      Pengertian Logika .................................................................. E.     Pernyataan ....................................................................................... F.     Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi, dan Negasinya ................. a.      Negasi....................................................................................... b.      Konjungsi....................................................................................... c.       Disjungsi....................................................................................... d.      Implikasi........................................................................................ e.       Biimplikasi.....................................................................................	4
Daftar Pustaka .....................................................................................................	17

BAB II

      a)      Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya

•         Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.

•          Di samping pernyataan majemuk sederhana di atas, seringkali dijumpai pernyataan majemuk yang lebih rumit. Pernyataan majemuk yang rumit terdiri dari pernyataan p, q, r, .....dan seterusnya, disertai gabungan operasi ingkaran, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

•         Secara umum dapat disimpulkan “jika sebuah majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah 2n

•         Nilai kebenaran

Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.

1)      Dasar empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari suatu pernyataan berdasarkan fakta yang ada dan dijumpai sehari-hari.

2)      Dasar tak empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam metematika.

      b)     Ingkaran dari pernyataan Berkuantor

•         Kita telah membahas ingkaran dari sebuah pernyataan. Paling tidak ada 3 hal yang perlu diingat kembali, yaitu:

  1. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p, dilambangkan dengan ~p.

  2. Jika p pernyataan yang bernilai benar, maka  ~p bernilai salah.

  3. Jika p pernyataan yang bernilai salah, maka  ~p bernilai benar.

c) Ingkaran atau negasi

• Ingkaran atau negasi ialah sebuah pernyataan yang dibentuk dengan membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula.
• Jika p adalah pernyatan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang ~p.

Contoh :

            Tentukan ingkaran dari q:7 adalah bilangan prima.

Jawab : ~q: Tidak benar 7 adalah bilangan prima, atau

             ~q: 7 bukan bilangan prima

PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN

Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta atau data lainya melalui suatu proses penalaran yang sahih atau valid. Sebagai akibatnya, logika merupakan ilmu yang sangat penting dipelajari. Di dalam mata pelajaran matematika maupun IPA, aplikasi logika seringkali ditemukan meskipun tidak secara formal disebut sebagai belajar logika. Bagian ini akan membahas tentang logika yang didahului dengan pengertian penalaran, diikuti dengan pernyataan, perakit-perakit pembentuk : negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

A.       PENGERTIAN LOGIKA

Ada pernyataan menarik yang dikemukakan mantan Presiden AS Thomas Jefferson sebagaimana dikutip Copi (1978) berikut ini: “In a republican nation, whoese citizens are to be led by reason and persuasion and not by force, the art of rasoning becomes of first importance” (p. Vii). Pernyataan itu menunjukkan pentingnya logika, penalaran dan argumentasi dipelajari dan dikembangkan disuatu negara sehingga setiap warga negara akan dapat dipimpin dengan daya nalar (otak) dan bukannnya dengan kekuatan (otot) saja. Karenanya, seperti yang dikatakan mantan Presiden AS tadi, seni bernalar merupakan hal yang sangat penting. Di samping itu, Copi (1978) juga mengutip pendapat Juliana Geran Pilon yang senada dengan yang diucapkan mantan Presiden As tadi: “civilized life depends upon the succses of reason in social intercourse, the prevalence of logic over violence in interpersonal conflict” (p. vii).

       Dua pernyataan di atas telah menunjukkan pentingnya penalaran (reasoning) dalam percaturan politik dan pemerintahan di suatu negara. Tidak hanya di bidang ketatanegaraan maupun hukum saja kemampuan bernalar itu menjadi sangat penting dan menentukan. Secara etnologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuaan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu sering juga disebut dengan penalaran (reasoning).

B.       PERNYATAAN

       Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi dapat sekaligus benar dan salah.

Contoh : a. 4 adalah bilangan genap

b.    Besi adalah benda padat

Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan.

·         Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d, ........., p, q, r, s, .........dan seterusnya.

·         Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak-empiris.

       Dimulai sejak ia masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat yang memiliki arti atau bermakna, Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti yang dapat berupa  pernyataan  (“Pintu itu tertutup.”), pernyataan (“Apakah pintu itu tertutup?”), perintah (“Tutup pintu itu!”) ataupun permintaan (“Tolong pintunya ditutup.”). Dari empat macam kalimat tersebut, hanya pernyataan saja yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Meskipun para ilmuwan, matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya sering menggunakan beberapa macam kalimat tersebut dalam kehidupan sehari-harinya, namun hanya pernyataan saja yang menjadi perhatiaan mereka dalam mengembangkan ilmunya.

       Setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar. Suatu pernyataan (termasuk teori) tidak akan mengahasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar. Karenanya, pembicaraan mengenai benar tidaknya suatu kalimat yang memuat suatu teori telah menjadi pembicaraan dan perdebatan para ahli filsafat dan logika sejak dahulu kala. Beberapa nama yang patut diperhitungkan karena telah berjasa untuk kita adalah Plato (427-347 SM), Aristoteles (384-322 SM), Charles S Peirce (1839-1914) dan Bertrand Russell (1872-1970). Paparan berikut akan mebicarakan tentang kebenaran, dalam arti, bilamana suatu pernyataan yang dimuat di dalam suatu kalimat disebut benar dan bilamana disebut salah. Untuk menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini diperhatikan dua kalimat berikut:

a.       Semua manusia akan mati.

b.      Jumlah besar sudut suatu segitiga adalah 180º.

Pertanyaannya, dari dua kalimat tersebut, kalimat manakah yang bernilai benar dan manakah yang bernilai benar atau salah, dan bilamana suatu kalimat dikategorikan sebagai kalaimat yang bernilai benar atau salah. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Suriasumantri (1988) menyatakan bahwa ada tiga teori yang berkait dengan kriteria kebenaran ini, yaitu: teori korespondensi, teori koherensi, dan teori pragmatis. Namun sebagian buku hanya membicarakan dua teori saja, yaitu teori korespondensi dan teori koherensi sehingga pembicaraan kita hanya berkait dengan dua teori tersebut.

1.        Teori Korespondensi

Teori korespondensi (the correspondence theory of truth) menunjukkan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung didalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Contohnya, “Surabaya adalah ibukota Propinsi Jawa Timur” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya memang demikian, yaitu

Surabaya memang benar merupakan ibukota Propinsi Jawa Timur. Namun pernyataan “Tokyo adalah Ibukota Singapura”, menurut teori ini akan bernilai salah karena hal-hal yang terkandung didalam pernyataan itu tidak sesuai dengan kenyataannya.

Teori-teori Ilmu Pengetahuaan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Dengan demikian jelaslah bahwa teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, atau menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Sedangkan Matematika yang tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta semat-mata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma telah melahirkan teori koherensi yang akan dibahas pada bagian berikut ini.

2.        Teori Koherensi

Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheran, konsisten, atau tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Contohnya, pengetahuan Aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang dianggap benar. Pernyataan yang dianggap benar itu disebut aksioma atau postulat.

Vance (19..) menyatakan ada enam aksioma yang berkait dengan bilangan real a, b, dan c terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) berlaku sifat:

1)      Tertutup, a + b ϵ R dan a.b ϵ R.

2)      Asosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c dan a. (b . c) = (a . b) . c

3)      Komutatif, a + b = b + a dan a.b = b.a

4)      Distributif, a.(b+c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a

5)      Identitas, a + 0 = 0 + a = a dan a.1 = 1 . a = a

6)      Invers, a +  ( ̶  a) = ( ̶  a) + a = 0 dan a. ¹  =  ¹ . a = 1

                ^{a     a}

Berdasar enam aksioma itu, teorema seperti  -b + (a+b) = a dapat dibuktikan dengan cara berikut :

̶  b + (a + b)	=	̶  b + (b + a)		Aks 3	-	Komutatif
	=	( ̶  b + b) + a		Aks 2	-	Asosiatif
	=	0 + a		Aks 6	-	Invers
	=	A		Aks 5	-	Identitas

                                

                   Demikian juga pernyataan bahwa jumlah sudut – sudut suatu segi-n adalah : (n – 2) x 180º akan bernilai benar karena konsisten  dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Dengan demikian jelaslah bahwa bangunan matematika didasarkan pada rasio semata-mata, kepada aksioma-aksioma yang dianggap benar tadi. Suatu hal yang sudah jelas benar pun harus ditunjukkan atau dibuktikan kebenarannnya dengan langkah-langkah yang benar.

                   Dari paparan diatas jelaslah bahwa pada dua pernyataan berikut :

a.       Semua manusia akan mati.

b.      Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180º ;

maka baik pernyataan a) maupun b) akan sama-sama bernilai benar, namun dengan alasan yang berbeda. Pernyataan a) bernilai benar karena pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Sampai detik ini, belum pernah ada orang yang hidup kekal dan abadi. Pernyataan a) tersebut akan bernilai salah jika sudah ditemukan suatu alat atau obat yang sangat canggih sehingga akan ada orang yang tidak bisa mati lagi. Sedangkan pernyataan b) bernilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheran ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Itulah sekilas tentang teori korespondensi dan teori koherensi yang memungkinkan kita untuk dapat menentukan benar tidaknya suatu pernyataan.

DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI, BIIMPLIKASI DAN NEGASINYA

          Adakalanya, kita dituntut untuk menegasikan atau membuat pernyataan baru yang menunjukkan pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan menggunakan perakit “bukan” atau “tidak”. Di samping itu, mereka harus menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit “atau”, “dan”, “atau”, “jika ....maka...”, dan “.....jika dan hanya jika .....” sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau penggandeng tersebut.

1.    PERAKIT/PERANGKAI

Perakit atau perangkai ini sering juga disebut dengan operasi. Dari satu atau dua pernyataan tunggal dapat diberikan perakit “tidak”, “dan”, “atau”, jika . . .maka...”, dan “.....jika dan hanya jika .....” sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau penggandeng tersebut.

a.             Negasi

          Jika p adalah “Surabaya ibukota Jawa Timur”, maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: “Surabaya bukan ibukota Jawa Timur.” atau “Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Jawa Timur.”.

Dari contoh di atas nampak jelas bahwa p merupakan pernyataan yang bernilai benar karena Surabaya pada kenyataannya memang ibukota Jawa Timur, sehingga ~p akan bernilai benar seperti ditunjukkan oleh tabel kebenaran di bawah ini.

P	~p
B S	S B

b.             Konjungsi

v  Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan.

v  Konjungsi pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut : p ٨ q dibaca p dan q.

v  p ٨ q benar, jika p dan q benar.

v  p ٨ q salah, jika salah satu p atau q salah

                               atau p salah dan q salah.

 Contohnya, pernyataan Adi berikut :

               “Fahmi makan nasi dan minum kopi.”

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut. “Fahmi makan nasi.” Dan sekaligus “Fahmi minum kopi.”

            Dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah dalam empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi, (2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi, (3) Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi :

            Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi. Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan pernyataan Adi tedi bernilai salah. Alasannya, pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini, tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena meskipun Fahmi sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sejalan dengan itu, pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi meskipun ia sudah minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena Fahmi tidak makan nasi sebagaimana yang dinyatakan Adi bahwa Fahmi makan nasi dan minum kopi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan kebenaran berikut :

p	Q	p ˄ q
B B S S	B S B S	B S S S

c.         Disjungsi

o   Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.

o   Disjungsi pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut : p v q.

o   p v q benar, jika salah satu diantara p dan q benar dan p dan q dua-duanya benar.

o   p v q salah, jika p dan q dua-duanya salah.

Contohnya, pernyataan Adi berikut: “Fahmi makan nasi atau minum kopi.” Sekarang, bertanyalah kepada diri anda sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas akan bernilai benar dalam empat kasus berikut, yaitu: (1) Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi, (2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi, (3) Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan (4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.

Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi. Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan pernyataan Adi tadi bernilai salah, karena pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini, tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai benar karena Fahmi sudah benar makan nasi meskipun ia tidak minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sedangkan pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai benar karena meskipun Fahmi tidak makan nasi namun ia sudah minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya. Ia menyatakan Fahmi makan nasi atau minum kopi namun kenyataannya, Fahmi tidak melakukan hal itu.

Berdasarkan penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu disjungsi p ˅ q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar sebagaimana pada tabel kebenaran berikut :

p	Q	p ˅ q
B B S S	B S B S	B B B S

d.             Implikasi

      Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p da q dalam bentuk jika p maka q.

      Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut : p => q.

      Nilai kebenaran implikasi p Þ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikit : p Þ q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p Þ q dinyatakan benar.

Misalkan ada dua pernyataan  p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p berniali benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata “Jika” sebelum pernyataan pertama lalu ditekan juga kata “maka” di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional atau hypotheticial dengan notasi “Þ” seperti ini:      p Þ q

Notasi di atas dapat dibaca dengan :

1)      Jika p maka q,

2)      q jika p,

3)      p adalah syarat cukup untuk q, atau

4)      q adalah syarat perlu untuk p.

Implikasi p Þ q merupakan pernyataan majemuk yang paling sulit dipahami. Adi menyatakan pernyataan majemuk berikut ini:

Jika hari ini hujan maka saya (Adi) membawa payung.

Dalam hal ini dimisalkan:

p: Hari hujan.

q: Adi membawa payung.

“dalam hal manakah pernyataan Adi tadi akan bernilai benar atau salah untuk empat kasus berikut, yaitu: (1) Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung, (2) Hari ini benar-benar hujan namun Adi tidak membawa payung, (3) Hari tidak hujan namun Adi membawa payung, dan (4) Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

Pada kasus pertama, hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung sebagaimana yang ia nyatakan. Bagaimana mungkin ia akan dinyatakan berbohong dalam kasus ini? Dengan demikiian jelaslah bahwa kedua komponen yang sama-sama bernilai benar itu telah menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang dinyatakan Adi tadi akan bernilai benar. Pada kasus kedua, hari itu benar-benar hujan akan tetapi Adi tidak membawa payung sebagaimana yang seharusnya ia lakukan seperti yang telah dinyatakannya, bagaimana mungkin pernyataan Adi tadi akan bernilai benar? Dengan kata lain, komponen p yang bernilai benar namun tidak diikuti dengan komponen q yang seharusnya bernilai benar juga, akan menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang dinyatakan Adi tadi akan bernilai salah.

Akhirnya, untuk kasus ketiga dan keempat, dimana hari itu tidak hujan, tentunya Anda tidak akan menyebut pernyataan majemuk (implikasi) Adi tersebut sebagai pernyataan yang salah, karena Adi hanyalah menyatakan bahwa sesuatu akan terjadi yaitu dia akan membawa payung jikalau hari hujan. Dengan demikian jelaslah bahwa implikasi p Þ q akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kenbenaran berikut ini:

P	q	p Þ q
B B S S	B S B S	B S B B

e.              Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q yang bernilai sama dengan (p Þ q) ˄ (q Þ p) sehingga dapat dibaca: “p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q.” Tabel kebenarannya dari p Û q adalah :

P	Q	p Û q
B B S S	B S B S	B S S B

Dengan demikian jelaslah bahwa biimplakasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama. Contoh biimplikasi:

1.      Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.

2.      Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.

KESIMPULAN

KESIMPULAN

            Dari uraiaan diatas dapat kesimpulan antara lain  pernyataan adalah kalimat yang benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah, sedaangkan benar salah suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.

            Pernyataan berkuantor terdiri dari pernyataan berkuantor universal (umum) dan pernyataan berkuantor eksistensial (khusus). Negasi atau Ingkaran dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula.

            Pernyataan majemuk, nilai kebenaran dan negasinya, Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai menggunakan kata penghubung dan. Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan kata penghubung atau. Implikasi atau pernyataan bersyarat / kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q. Biimplikasi atau implikasi dwiarah dapat diartikan pernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika q” sehingga diperoleh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”.

SARAN

            Demikianlah makalah logika matematika ini sekali lagi bahwa materi ini kami susun masih belum sempurna, oleh karena itu kami masih banyak perlu bimbingan dari ibu dosen serta kritik dan saran dari rekan-rekan sekalian.           

DAFTAR PUSTAKA

Kusumah, Y.S. (1986) Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.

Prayitno, E. (1995). Logika Matematika. Yogyakarta : PPPG Matematika.

Tirta Saputro, Theresia (1992). Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta : Erlangga.

Sartono Wirodikromo dkk... Matematika Untuk SMU Jilid 1 Sampai 9, Erlangga, Jakarta 1999.

Depdiknas, 2003, Kurikulum Berbasis Kompotensi Untuk Sekolah Menengah Umum ( Smu ), Jakarta : Depdiknas

TIM PKG Matematika SMU, Logika Matematika, Suplemen Matematika SMA, Yogyakarta, 1986.